Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等邊三角形，側(cè)棱AA₁=

6

，D、E分別是CC₁與A₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心，則該三棱柱側(cè)面積為（　　）

• A、

  10

  5

• B、

  15

  5

• C、3

  2

• D、6

  6

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等邊三角形，側(cè)棱AA₁=

6

，D、E分別是CC₁與A₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心，結(jié)合重心的性質(zhì)和射影定理，求出底面邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出底面周長(zhǎng)，再由側(cè)棱長(zhǎng)，即棱柱的高，代入棱柱側(cè)面積公式，可得答案．

解答：解：設(shè)三棱柱底面邊長(zhǎng)AB=a，
過(guò)E作EH⊥DF于H，連結(jié)EF，ED，
則EF=

1

2

AA₁=

6

2

，ED=CF=

3

2

a，

因?yàn)镠為△ABD的重心，
∴EF²：ED²=FH•FD：HD•FD=FH：HD=1：2，
即

3

2

：

3

4

a2=1：2，
解得a=2，
故底面周長(zhǎng)C=2×3=6，
又∵棱柱的高h(yuǎn)=

6

，
∴棱柱的側(cè)面積S=Ch=6

6

，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查正棱柱的側(cè)面積的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．