設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=2
3
，c=4，且1+
tanA
tanB
=
2c
b
，求△ABC的面積S．
考點：正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用
專題：解三角形
分析：逆用兩角和的正弦將1+
tanA
tanB
轉(zhuǎn)化為 
sinC
cosAsinB
，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化即可求得C．然后求解三角形的面積．
解答： 解：在△ABC中，1+
tanA
tanB
=
tanA+tanB
tanB
=
sinA
cosA
+
sinB
cosB
sinB
cosB
=
sin(A+B)
cosAsinB
=
sinC
cosAsinB
，
∵1+
tanA
tanB
=
2c
b
，
∴由正弦定理得：
2c
b
=
2sinC
sinB
，
∴
sinC
cosAsinB
=
2sinC
sinB
，sinB≠0，sinC≠0，
∴cosA=
1
2
，
∴A=
π
3
．
又知a=2
3
，c=4，顯然，c＞a，故C＞A．
∴由正弦定理得：
a
sinA
=
c
sinC
，
∴sinC=
csinA
a
=
4×
3
2
2
3
=1．
∴C=
π
2
．
∴△ABC的面積S=
1
2
acsinB=
1
2
×2
3
×4×
1
2
=2
3
．
點評：本題考查兩角和的正弦，考查三角函數(shù)間的關(guān)系與正弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列有關(guān)命題的說法正確的是（　　）
A、“θ≠60°”是“cosθ≠
1
2
”的充分不必要條件
B、“x=2”是“x2-5x+6=0”的必要不充分條件
C、命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”
D、命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示扇形AOB，半徑為2，∠AOB=
π
3
，過半徑OA上一點C作OB的平行線，交圓弧AB于點P．
（Ⅰ）若C是OA的中點，求PC的長；
（Ⅱ）設(shè)∠COP=θ，求△POC面積的最大值及此時θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知二次函數(shù)為y=x2，求拋物線與x=1和x軸組成的封閉圖形的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知cosx+3sinx=
5
，求tan2x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E為PD的中點．
（Ⅰ）設(shè)PD與平面PAC所成的角為α，二面角P-CD-A的大小為β，求證：tanα=cosβ．
（Ⅱ）在線段AB上是否存在一點F（與A，B兩點不重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求AF的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，∠A=60°，sinB=
3
3
，若2c=b+2，求邊長b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一貨輪航行到A處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°相距20里處，隨后貨輪按北偏西15°的方向航行，半小時后到B，又測得燈塔在貨輪的北偏東45°，求貨輪的速度．（要求畫出圖形）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα≠0，用tanα表示sinα為
 
．

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