Question

函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x-1，給出下列四個(gè)命題
①函數(shù)在區(qū)間[

π

8

，

5π

8

]上是減函數(shù)；②直線x=

π

8

是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；③函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

而得到；④若x∈[0，

π

2

]，則f（x）的值域是[-1，

2

]．其中所有正確的命題的序號(hào)是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、①②④
• D、②④

Answer 1

分析：首先利用二倍角公式和輔角公式整理函數(shù)式，在函數(shù)式的最簡(jiǎn)形式下進(jìn)行性質(zhì)的運(yùn)算，寫出函數(shù)的減區(qū)間判斷第一個(gè)命題正確，代入x的值判斷第二個(gè)命題正確，平移變換得到第三個(gè)不正確，根據(jù)自變量的值求出函數(shù)值得到第四個(gè)正確．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x-1=

2

sin(2x+

π

4

)，
函數(shù)的減區(qū)間是2x+

π

4

∈[zkπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]
∴x∈[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]
∴①正確，
當(dāng)x=

π

8

時(shí)，y=

2

，
∴②正確，
③中為向左平移

π

8

，故③不正確，
當(dāng)x∈[0，

π

2

]，f（x）的值域是[-1，

2

]．
故④正確，
總上可知①②④正確
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變形和函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)算，本題完全符合高考題目的方向，可以作為一個(gè)解答題目出現(xiàn)，注意三角函數(shù)的整理過程不要出錯(cuò)，否則后面的運(yùn)算都被影響．