Question

某種商品的成本為5元/件，開始按8元/件銷售，銷售量為50件，為了獲取最大利潤，商家先后采取了提價與降價兩種措施進行試銷．經試銷發(fā)現：銷售價每上漲1元每天銷售量就減少10件；而降價后，日銷售量Q（件）與實際銷售價x（元）滿足關系Q=

39(2x2-29x+107)(5＜x＜7) 198-6x x-5 (7≤x＜8)

（1）求總利潤（利潤=銷售額-成本）y（元）與實際銷售價x（件）的函數關系式；
（2）試問：當實際銷售價為多少元時，總利潤最大．

Answer 1

分析：（1）依據題意，得總利潤（利潤=銷售額-成本）y（元）與實際銷售價x（件）的函數關系式即可，它是一個分段函數的形式．（2）由（1）得：當5＜x＜7時，y=39（2x³-39x²+252x-535），接下來利用導數研究此函數的單調性，從而得出此函數的最大值即可．

解答：解：（1）據題意，得y=

39(2x2-29x+107)(x-5)  (5＜x＜7) 198-6x x-5 (x-5)                (7≤x＜8) [50-10(x-8)](x-5)          (x≥8)

（4分）
=

39•(2x3-39x2+252x-535)(5＜x＜7) 6(33-x)      (7≤x＜8) -10x2+180x-650  (x≥8)

（5分）

（2）由（1）得：當5＜x＜7時，y=39（2x³-39x²+252x-535）
y'=234（x²-13x+42）=234（x-6）（x-7）
當5＜x＜6時，y'＞0，y=f（x）為增函數
當6＜x＜7時，y'＜0，y=f（x）為減函數
∴當x=6時，f（x）_極大值=f（16）=195（8分）
當7≤x＜8時，y=6（33-x）∈（150，156]
當x≥8時，y=-10（x-9）²+160
當x=9時，y_極大=160（10分）
綜上知：當x=6時，總利潤最大，最大值為：195（12分）

點評：本小題考查函數模型的選擇與應用，屬于中檔題．本題主要考查了分段函數，以及函數與方程的思想，數形結合的思想．