【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，證明：函數(shù)在上單調遞減；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在內存在兩個極值點？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由. （參考數(shù)據(jù)： ， ）

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（I）；求導得，只需利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最大值，從而證明即可得結論；（II）討論時， 時兩種情況，分別利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，排除不合題意的情況，從而可得使得函數(shù)在內存在兩個極值點的實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是.

求導得.

設，則與同號.

所以，若，則對任意恒成立.

所以函數(shù)在上單調遞減.

又，

所以當時，滿足.即當時，滿足.

所以函數(shù)在上單調遞減.

（Ⅱ）①當時，函數(shù)在上單調遞減.

由，又， 時， ，

取，則，

所以一定存在某個實數(shù)，使得.

故在上， ；在上， .

即在上， ；在上， .

所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.此時函數(shù)只有1個極值點，不合題意，舍去；

②當時，令，得；令，得，

所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.

故函數(shù)的單調情況如下表：

0

＋

極小值

要使函數(shù)在內存在兩個極值點，則需滿足，即，

解得又， ，

所以.

此時， ，

又， ；

綜上，存在實數(shù)，使得函數(shù)在內存在兩個極值點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【選修4—4：坐標系與參數(shù)方程】

在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)， 為直線的傾斜角). 以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位，建立極坐標系. 圓C的極坐標方程為，設直線l與圓C交于兩點．

（Ⅰ）求角的取值范圍；

（Ⅱ）若點的坐標為，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】

在平面直角坐標系，已知曲線（為參數(shù)），在以原點為極點， 軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為。

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）過點且與直線平行的直線交于， 兩點，求點到， 的距離之積。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個焦點和短軸的兩個頂點構成的四邊形是一個正方形,且其周長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓相交于兩點,點關于原點的對稱點為,若點總在以線段為直徑的圓內,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)= -lnx-.

（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

（Ⅱ）求證：lnx≥-

（Ⅲ）判斷曲線y=f(x)是否位于x軸下方，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中， ， ， .

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）若，在棱上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，求的長，若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知向量，，

（1）求函數(shù)的最小正周期及取得最大值時對應的x的值；

（2）在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c，若,求三角形ABC面積的最大值并說明此時該三角形的形狀.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求證： ；

（Ⅲ）判斷曲線是否位于軸下方，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于定義域為R的函數(shù)f(x)，若f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上均有零點，則稱函數(shù)f(x)為“含界點函數(shù)”，則下列四個函數(shù)中，不是“含界點函數(shù)”的是(　　)

A. f(x)＝x2＋bx－1(b∈R) B. f(x)＝2－|x－1|

C. f(x)＝2x－x2 D. f(x)＝x－sin x

查看答案和解析>>

同步練習冊答案