Question

設(shè)x∈R，函數(shù)f（x）=cosx+sinx，g（x）=cosx-sinx．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）+f²（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）=2g（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意利用二倍角的三角函數(shù)公式與輔助角公式，化簡(jiǎn)得F（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1．再由三角函數(shù)的周期公式與正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式加以計(jì)算，可得函數(shù)F（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（x）=2g（x）算出3sinx=cosx，從而得出tanx=

1

3

．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行“弦化切”，可得所求分式的值．

解答：解：（1）F（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+（cosx+sinx）²
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∴函數(shù)F（x）的最小正周期為π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
可得函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

3π

8

 ， kπ+

π

8

]（k∈Z）． 
（2）∵f（x）=2g（x），∴cosx+sinx=2（cosx-sinx），
解得3sinx=cosx，所以tanx=

sinx

cosx

=

1

3

．
因此，

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

cos2x+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

1+2tan2x

1-tanx

=

11

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題已知f（x）、g（x）的表達(dá)式，求與之相關(guān)的函數(shù)F（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．