Question

 如圖，已知：橢圓的中心為，長軸的兩個端點為，右焦點為，．若橢圓經(jīng)過點，在上的射影為，且△的面積為5．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知圓：=1，直線=1，試證明：當(dāng)點在橢圓上

運動時，直線與圓恒相交；并求直線被圓截得的弦長的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析，弦長的取值范圍為[]

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓方程為，半焦距為，

由，且∴ ，得.（1）

由題意，設(shè)點坐標(biāo)，在上，代入得 ∴． 由△ABC的面積為5，得，=5.（2）

解（1）（2）得 ∴=9—4=5．

∴所求橢圓的方程為：．                                ……6分

 (Ⅱ) 圓到直線=1距離，

由點在橢圓上，則，

顯然，∴1，>1,

∴，

而圓的半徑為1，直線與圓恒相交．                              ……12分

弦長=2=2,由得，

∴, =2,

 ，∴，，∴ ，

弦長的取值范圍是[]．                                    ……16分

考點：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線與圓的位置關(guān)系的判斷和弦長公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算求解能力和數(shù)學(xué)結(jié)合思想的應(yīng)用.

點評：判斷直線與圓的位置關(guān)系，首先要用圓心到直線的距離和半徑比較大小，而不要用代數(shù)法，另外弦長公式運算比較復(fù)雜，要仔細(xì)計算.