Question

如圖，E是以AB為直徑的半圓上異于A、B的點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面垂直于該半圓所在的平面，且AB=2AD=2．
（1）求證：EA⊥EC；
（2）設(shè)平面ECD與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為F．
①試證：EF∥AB；
②若EF=1，求三棱錐E-ADF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)，可得BC⊥平面ABE，再利用線面垂直的判定證明AE⊥面BCE，即可證得結(jié)論；
（2）①先證明AB∥面CED，再利用線面平行的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；
②取AB中點(diǎn)O，EF的中點(diǎn)O′，證明AD⊥平面ABE，利用等體積，即可得到結(jié)論．
解答：（1）證明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD
∴BC⊥平面ABE
∵AE?平面ABE，∴BC⊥AE
∵E在以AB為直徑的半圓上，∴AE⊥BE
∵BE∩BC=B，BC，BE?面BCE
∴AE⊥面BCE
∵CE?面BCE，∴EA⊥EC；
（2）①證明：∵AB∥CD，AB?面CED，CD?面CED，
∴AB∥面CED，
∵AB?面ABE，面ABE∩面CED=EF
∴AB∥EF；
②取AB中點(diǎn)O，EF的中點(diǎn)O′，
在Rt△OO′F中，OF=1，O′F=，∴OO′=
∵BC⊥面ABE，AD∥BC
∴AD⊥平面ABE
∴V_E-ADF=V_D-AEF===
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．