Question

5．如圖，設(shè)直線l是平面α的一條射線，l′是l在α內(nèi)的射影，直線n?α．用＜a，b＞表示直線a，b的夾角．求證：
（1）cos＜l，n＞=cos＜l，l′＞•cos＜l′，n＞；
（2）n⊥l?n⊥l′．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l與平面α交于點(diǎn)A，并在l上取不同于點(diǎn)B的一點(diǎn)B，作BO⊥α，交α于O，作AC，并設(shè)n，則AO為l′，在平面α內(nèi)過(guò)O作OC⊥AC，交AC于C點(diǎn)，連結(jié)BC，由三垂線定理得AC⊥BC，由此能證明cos＜l，n=cos＜l，l′＞•cos＜l′，n＞．
（2）由已知條件，利用三垂線定理及其逆定理能證明n⊥l?n⊥l′．

解答 證明：（1）如圖，AB是平面α的斜線，BO⊥α，交α于O，AC?α，
設(shè)AB為l，AC為n，則AO為l′，
在平面α內(nèi)過(guò)O作OC⊥AC，交AC于C點(diǎn)，
連結(jié)BC，由三垂線定理得AC⊥BC，
∴cos＜l，n＞=cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$，
cos＜l，l′＞=cos∠BAO=$\frac{AO}{AB}$，
cos＜l′，n＞=cos∠CAO=$\frac{AC}{AO}$，
∴cos＜l，n＞=$\frac{AC}{AB}=\frac{AO}{AB}•\frac{AC}{AO}$=cos＜l，l′＞•cos＜l′，n＞．
（2）n⊥l，即AC⊥AB，
又BO⊥α，AC?α，∴AC⊥BO，
又AB∩BO=B，∴AC⊥平面SAO，
∴AC⊥AO，即n⊥l′；
n⊥l′，即AC⊥AO，
又BO⊥α，AC?α，∴AC⊥BO，
又AO∩BO=O，∴AC⊥平面ABO，
∴AC⊥AB，即n⊥l．
∴n⊥l?n⊥l′．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的應(yīng)用，考查直線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三垂線定理及逆定理的合理運(yùn)用．