Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b=1，且c2+a2-

3

ac=1．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）求

3

c-2a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由c2+a2-

3

ac=1利用余弦定理可得 cosB 的值，從而求得B的值．
（II）由正弦定理可得，三角形外接圓的直徑2r=

b

sinB

=2，由此求得

3

c-2a=2

3

sinC-4sinA，再利用兩角和的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)為 2cos（A+

π

6

），根據(jù) A+

π

6

的范圍
求出2cos（A+

π

6

）的范圍，從而得到

3

c-2a的取值范圍．

解答：解：（I）由c2+a2-

3

ac=1利用余弦定理可得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-1

2ac

=

3

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

6

．
（II）由正弦定理可得，三角形外接圓的直徑2r=

b

sinB

=2，
∴

3

c-2a=2

3

sinC-4sinA=2

3

sin（

5π

6

-A）-4sinA=2

3

（

1

2

cosA+

3

2

sinA）-4sinA
=

3

cosA-sinA=2cos（A+

π

6

）．
∵0＜A＜

5π

6

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜π，
∴-1＜cos（A+

π

6

）＜

3

2

，
∴-2＜2cos（A+

π

6

）＜

3

，
故

3

c-2a的取值范圍為（-2，

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦、余弦公式，求三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．