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精英家教網如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,點D,E分別在棱
PB,PC上,且BC∥平面ADE
(I)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)當二面角A-DE-P為直二面角時,求多面體ABCED與PAED的體積比.
分析:(I)欲證DE⊥平面PAC,觀察本題的條件,BC⊥平面PAC易證,而BC∥平面ADE結合DE=平面PBC∩平面ADE,可證得BC∥ED,由此證法思路已明.
(Ⅱ)由(I),結合二面角A-DE-P為直二面角,可證得AE⊥面PBC,即得AE⊥PC,再由,∠BCA=90°,AP=AC可得出E是中點,由于求多面體ABCED與PAED的體積比可以轉化為求面BCED與面PAED的比,問題得解.
解答:精英家教網解:(Ⅰ)∵BC∥平面ADE,BC?平面PBC,
平面PBC∩平面ADE=DE
∴BC∥ED(2分)
∵PA⊥底面ABC,BC?底面ABC∴PA⊥BC.(3分)
又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.
∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.(5分)
∴DE⊥平面PAC.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,DE⊥平面PAC,
又∵AE?平面PAC,PE?平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP為二面角A-DE-P的平面角,(8分)
∴∠AEP=90°,即AE⊥PC,(9分)
∵AP=AC,∴E是PC的中點,ED是△PBC的中位線.(10分)
VA-BCED
VA-PDE
=
SBCED
SPDE
=
3
1
(12分)
點評:本題考查利用線面垂直的條件證明線面垂直以及求棱錐的體積比,本題中兩個問題的證明都轉化為了另外問題的證明,體現了做題的靈活性.
練習冊系列答案
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1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實數a的最小值為
 

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3
,則PA=
1
1

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