Question

已知二次函數(shù)f（x）同時滿足①f（0）=f（2），②f（x）_max=15，③方程f（x）=0的兩根的立方和等于17．（立方和公式：a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²））
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題目條件設(shè)f（x）=a（x-1）²+15（a≠0），從而解解析式；
（2）由單調(diào)性求值域．

解答： 解：（1）∵f（0）=f（2）∴對稱軸為直線x=1；
依題意設(shè)f（x）=a（x-1）²+15（a≠0），方程f（x）=0的根為x₁和x₂；
則x1+x2=2，x1x2=

a+15

a

；
∴

x

3 1

+

x

3 2

=(x1+x2)(

x

2 1

-x1x2+

x

2 2

)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]
=2(4-3•

a+15

a

)=17；
解得，a=-6．
∴f（x）=-6（x-1）²+15=-6x²+12x+9．
（2）∵f（x）的圖象開口向下，對稱軸為直線x=-1，又∵x∈[-1，2]；
∴當(dāng)x=1時，f（x）有最大值15．
當(dāng)x=-1時，f（x）有最小值-9．
故f（x）的值域為[-9，15]．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，是高考的重點，要求學(xué)生熟練應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．