Question

（2011•廣州模擬）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對(duì)角BD折起，得到三棱錐A-BCD．
（1）求證：平面AOC⊥平面BCD；
（2）若三棱錐A-BCD的體積為

6

3

，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)可得由正方形的性質(zhì)可得AO⊥BD以及BD⊥CO，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD，進(jìn)而得到結(jié)論．
（2）先根據(jù)三棱錐的體積求出棱錐的高，再分二面角為鈍角和銳角兩種情況分別求出AC的長(zhǎng)即可．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）證明：因?yàn)锳BCD是正方形，
所以BD⊥AO，BD⊥CO．…（1分）
在折疊后的△ABD和△BCD中，
仍有BD⊥AO，BD⊥CO．…（2分）
因?yàn)锳O∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．…（3分）
因?yàn)锽D?平面BCD，
所以平面AOC⊥平面BCD．…（4分）
（2）解：設(shè)三棱錐A-BCD的高為h，
由于三棱錐A-BCD的體積為

6

3

，
所以

1

3

S△BCDh=

6

3

．…（5分）
因?yàn)?span id="wni9bur" class="MathJye">S△BCD=

1

2

BC×CD=

1

2

×2×2=2，所以h=

6

2

．…（6分）
以下分兩種情形求AC的長(zhǎng)：
①當(dāng)∠AOC為鈍角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作CO的垂線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
由（1）知BD⊥平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且CO∩BD=O，所以AH⊥平面BCD．
所以AH為三棱錐A-BCD的高，即AH=

6

2

．…（7分）
在Rt△AOH中，因?yàn)?span id="4vmmkpr" class="MathJye">AO=

2

，
所以OH=

AO2-AH2

=

( 2 )2-( 6 2 )2

=

2

2

．…（8分）
在Rt△ACH中，因?yàn)?span id="9yy9kxm" class="MathJye">CO=

2

，
則CH=CO+OH=

2

+

2

2

=

3 2

2

．…（9分）
所以AC=

AH2+CH2

=

( 6 2 )2+( 3 2 2 )2

=

6

．…（10分）
②當(dāng)∠AOC為銳角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作CO的垂線交CO于點(diǎn)H，
由（1）知BD⊥平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且CO∩BD=O，所以AH⊥平面BCD．
所以AH為三棱錐A-BCD的高，即AH=

6

2

．…（11分）
在Rt△AOH中，因?yàn)?span id="vff59kq" class="MathJye">AO=

2

，
所以OH=

AO2-AH2

=

( 2 )2-( 6 2 )2

=

2

2

．…（12分）
在Rt△ACH中，因?yàn)?span id="9bk0kd9" class="MathJye">CO=

2

，
則CH=CO-OH=

2

-

2

2

=

2

2

．…（13分）
所以AC=

AH2+CH2

=

( 6 2 )2+( 2 2 )2

=

2

．
綜上可知，AC的長(zhǎng)為

2

或

6

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察面面垂直的判定以及線段長(zhǎng)度的計(jì)算．一般在證明面面垂直時(shí)，常轉(zhuǎn)化為證線線垂直，得線面垂直，進(jìn)而得到結(jié)論．