Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且當x≠0時，f（x）≠0．
（Ⅰ）求證：f（0）=0；    
（Ⅱ）證明：f（x）是偶函數，并求f（x）的表達式；
（III） 若f（x）+a＞ax對任意x∈（1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=y=0代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，即可求解；
（Ⅱ）求出f（x）的表達式再判斷奇偶性，由f（xy）=f（x）f（y），令x=y=1，得f（1）=1，再令y=x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，求出f（x），即可求解．
（III）由f（x）=x²，f（x）+a＞ax，得x²-ax+a＞0，f（x）+a＞ax對任意x∈（1，+∞）恒成立，等價于x²-ax+a＞0對任意x∈（1，+∞）恒成立，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0）
∴f（0）=0；
（Ⅱ）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）∴f（1）=f（1）²，
∵當x≠0時，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x²，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x²，
∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x²，f（-x）=f（x）
∴f（x）為偶函數．
（III）∵f（x）=x²，
∴由f（x）+a＞ax，得x²-ax+a＞0，
∴f（x）+a＞ax對任意x∈（1，+∞）恒成立，
等價于x²-ax+a＞0對任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵y=x²-ax+a的圖象開口向上，對稱軸方程是x=

a

2

，
∴

a

2

≤1，解得a≤2．
∴實數a的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查偶函數的證明和函數表達式的求法，考查等價轉化思想的合理運用．解題時要認真審題，注意函數性質的靈活運用．