【題目】已知函數(shù)（）

（1）當(dāng)，證明；

（2）如果函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】（1）證明見解析，（2），（3）時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）只需證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)易得證；
（2）求導(dǎo)后可知的兩根分別為，，進(jìn)而可得，表示出，構(gòu)造函數(shù)求其在定義域上的最大值即可；
（3）研究可知，再分類討論結(jié)合導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可得出結(jié)論．

（1）時(shí)，等價(jià)于證明：

即證，令

，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

∴，∴，證畢!

（2）的兩根分別為，

∴，解得

∴

顯然在上單調(diào)遞減.

∴

∴

（3）當(dāng)時(shí)，，令

∴其只有一個(gè)正數(shù)根，（）

且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

∴最大值

令，

（）

令當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

∴

∴

①當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)

②當(dāng)，即且時(shí)，此時(shí)，注意到

（i）當(dāng)時(shí)，，而

令取知

∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)為1

（ii）當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)取知

∴有一個(gè)零點(diǎn)為1，另一零點(diǎn)在上，

故時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】某軟件公司新開發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件，該軟件把學(xué)科知識(shí)設(shè)計(jì)為由易到難共12關(guān)的闖關(guān)游戲.為了激發(fā)闖關(guān)熱情，每闖過一關(guān)都獎(jiǎng)勵(lì)若干慧幣（一種網(wǎng)絡(luò)虛擬幣）.該軟件提供了三種獎(jiǎng)勵(lì)方案：第一種，每闖過一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)80慧幣；第二種，闖過第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)8慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)多獎(jiǎng)勵(lì)8慧幣；第三種，闖過第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)1慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)翻一番（即增加1倍）.游戲規(guī)定：闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一種獎(jiǎng)勵(lì)方案.已知一名闖關(guān)者沖關(guān)數(shù)一定超過3關(guān)但不會(huì)超過9關(guān)，為了得到更多的慧幣，他應(yīng)如何選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案？

A.選擇第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案B.選擇第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案

C.選擇第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案D.選擇的獎(jiǎng)勵(lì)方案與其沖關(guān)數(shù)有關(guān)

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的焦點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（2）若曲線的上焦點(diǎn)為，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）．

①異面直線與所成的角為

②

③三棱錐的體積為定值

④的最小值為2．

A.①②③B.①②④C.③④D.②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買2臺(tái)這種機(jī)器�，F(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：

維修次數(shù)

0

1

2

3

臺(tái)數(shù)

5

10

20

15

以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)。

（1）求X的分布列；

（2）以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)代足球運(yùn)動(dòng)是世上開展得最廣泛、影響最大的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，有人稱它為“世界第一運(yùn)動(dòng)”．早在2000多年前的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，就有了一種球類游戲“蹴鞠”，后來經(jīng)過阿拉伯人傳到歐洲，發(fā)展成現(xiàn)代足球．1863年10月26日，英國(guó)人在倫敦成立了世界上第一個(gè)足球運(yùn)動(dòng)組織——英國(guó)足球協(xié)會(huì)，并統(tǒng)一了足球規(guī)則．人們稱這一天是現(xiàn)代足球的誕生日．如圖所示，足球表面是由若干黑色正五邊形和白色正六邊形皮圍成的，我們把這些正五邊形和正六邊形都稱為足球的面，任何相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做足球的棱．已知足球表面中的正六邊形的面為20個(gè)，則該足球表面中的正五邊形的面為______個(gè)，該足球表面的棱為______條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在三個(gè)不同的，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

已知函數(shù).

（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=ln x 在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線的切線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，若直線的極坐標(biāo)方程為曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）求直線和曲線的普通方程；

（2）設(shè)直線和曲線交于兩點(diǎn)，求

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