Question

定義：關于x的不等式|x-A|＜B的解集叫A的B鄰域．已知a+b-2的a+b鄰域為區(qū)間（-2，8），其中a、b分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的長半軸和短半軸．若此橢圓的一焦點與拋物線y²=4

5

x的焦點重合，則橢圓的方程為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據新定義由題意得：|x-（a+b-2）|＜a+b的解集為區(qū)間（-2，8），從而得到關于 a，b的等量關系，再求得拋物線的焦點坐標，根據橢圓的標準方程，即可求得結論．

解答： 解：由題意得：|x-（a+b-2）|＜a+b的解集為區(qū)間（-2，8），
∵|x-（a+b-2）|＜a+b的解集為：（-2，2（a+b）-2），
∴2（a+b）-2=8，整理，得a+b=5①，
由題意拋物線y²=4

5

x的焦點坐標為（

5

，0），
∵橢圓的標準方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∴a²-b²=5②
由①②解得a²=9，b²=4
∴橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
故答案為：

x2

9

+

y2

4

=1．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查橢圓的標準方程，考查待定系數法的運用，解題時要認真審題，屬于中檔題．