Question

若函數(shù)f（x）=e^x-ax（e為自然對數(shù)的底）
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）對任意實數(shù)x都有f（x）≥1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

解：（1）由f'（x）=e^x-1知，令f'（x）=e^x-1=0知，x=0，
當x∈（-∞，0）時，f'（x）＜0，當x∈（0，+∞），f'（x）＞0，
因此，當x=0，函數(shù)f（x）的最小值為f（0）=1；
（2）∵f'（x）=e^x-a，若a≤0，則f'（x）=e^x-a＞0，
∴函數(shù)f（x）=e^x-ax在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，而f（0）=1，
∴當x＜0時，f（x）＜f（0），即f（x）＜1，這與對任意實數(shù)x都有f（x）≥1相矛盾；
∴a＞0，由f'（x）=e^x-a=0得x=lna，
當x∈（-∞，lna）時，f'（x）＜0，當x∈（lna，+∞）時，f'（x）＞0
所以x=lna時，f（x）=e^x-ax取得最小值a-alna，
要滿足對任意實數(shù)x都有f（x）≥1，必需且只需a-alna≥1（*）
令φ（x）=x-xlnx，則φ'（x）=-lnx，
當0＜x＜1時，φ'（x）=-lnx＞0，當x＞1時，則φ'（x）=-lnx＜0，
則x=1時，φ（x）=x-xlnx有最大值1，
即對任意正數(shù)a都有a-alna≤1，（**）當且僅當a=1時等號成立
由（*）、（**）得a-alna=1，此時a=1；
綜上：所求實數(shù)a的值為a=1．
分析：（1）先求導，確定函數(shù)的單調區(qū)間，進而可求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，即f（x）的最小值大于等于1，轉化為求函數(shù)的最小值問題．利用導數(shù)求解．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查不等式恒成立問題、函數(shù)求最值，以及化歸轉化思想和分類討論思想，綜合性強，難度較大．