Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=a_n+n²-1，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足3ⁿ•b_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，且b₁=3．
（Ⅰ）求a_n，b_n；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n，并求滿(mǎn)足T_n＜7時(shí)n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）在已知數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，兩式作差后整理得到a_n-1=2n-1，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求，把a(bǔ)_n代入3ⁿ•b_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，整理后求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，然后利用作差法說(shuō)明{T_n}為遞增數(shù)列，通過(guò)求解T₃，T₄的值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由Sn=an+n2-1，得
Sn-1=an-1+(n-1)2-1 （n≥2），
兩式相減得，a_n=a_n-a_n-1+2n-1，
∴a_n-1=2n-1，則a_n=2n+1．
由3ⁿ•b_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
∴3ⁿ•b_n+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3．
∴bn+1=

4n+3

3n

．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn=

4n-1

3n-1

，
由b₁=3適合上式，
∴bn=

4n-1

3n-1

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=

4n-1

3n-1

，
∴Tn=

3

1

+

7

3

+

11

32

+…+

4n-5

3n-2

+

4n-1

3n-1

 ①．

1

3

Tn=

3

3

+

7

32

+

11

33

+…+

4n-5

3n-1

+

4n-1

3n

 ②．
①-②得，

2

3

Tn=3+

4

3

+

4

32

+…+

4

3n-1

-

4n-1

3n

=3+4•

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

4n-1

3n

=5-

4n+5

3n

．
∴Tn=

15

2

-

4n+5

2•3n-1

．
∵Tn-Tn+1=

4(n+1)+5

2•3n

-

4n+5

2•3n-1

=

-(4n+3)

3n

＜0．
∴T_n＜T_n+1，即{T_n}為遞增數(shù)列．
又T3=

15

2

-

4×3+5

2×9

=

59

9

＜7，T4=

15

2

-

4×4+5

2×27

=

64

9

＞7．
∴T_n＜7時(shí)，n的最大值3．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，求解（Ⅱ）的關(guān)鍵是說(shuō)明數(shù)列{T_n}為遞增數(shù)列，是中高檔題．