Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)F₁、F₂與短軸一端點(diǎn)的連線互相垂直，M為橢圓上任一點(diǎn)，且△MF₁F₂的面積最大值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)圓A：x²+y²=r²（r＞0）的切線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，且=0，求半徑r的值．

Answer 1

解：（1）橢圓中，由題意可知，∴b=c=1，∴
∴橢圓方程為…（6分）
（2）l斜率不存在時(shí)，l方程為x=±r，此時(shí)、
∵OP⊥OQ，∴…（8分）
l斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為y=kx+m則 即 m²=r²（1+k²）
設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），聯(lián)立l與橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0…（10分）
∴
∵OP⊥OQ，∴
∵m²=r²（1+k²），∴3r²（1+k²）-2（1+k²）=0
∴
綜上所述…（14分）
分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)F₁、F₂與短軸一端點(diǎn)的連線互相垂直，△MF₁F₂的面積最大值為1，可建立方程組，即可求得橢圓方程；
（2）l斜率不存在時(shí)，l方程為x=±r，求出P、Q的坐標(biāo)，利用OP⊥OQ，可求半徑r的值；l斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為y=kx+m則可得m²=r²（1+k²），聯(lián)立l與橢圓方程，利用OP⊥OQ及韋達(dá)定理可求半徑r的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的切線，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解題．