Question

12．已知函數(shù)f（x）=2ax³-3x²+1，若 f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，則a的取值范圍是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （0，1）
• C． （-1，0）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值與x軸之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：若a=0，則函數(shù)f（x）=-3x²+1，有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件．
若a≠0，函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=6ax²-6x=6ax（x-$\frac{1}{a}$），
若 f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{a}$或x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{a}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
故函數(shù)在x=0處取得極大值f（0）=1＞0，在x=$\frac{1}{a}$處取得極小值f（$\frac{1}{a}$），若x₀＞0，此時(shí)還存在一個(gè)小于0的零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件．
若a＜0，由f′（x）＞0得$\frac{1}{a}$＜x＜0，此時(shí)函數(shù)遞增，
由f′（x）＜0得x＜$\frac{1}{a}$或x＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)在x=0處取得極大值f（0）=1＞0，在x=$\frac{1}{a}$處取得極小值f（$\frac{1}{a}$），
若存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，
則f（$\frac{1}{a}$）＞0，即2a（$\frac{1}{a}$）³-3（$\frac{1}{a}$）²+1＞0，
（$\frac{1}{a}$）²＜1，即-1＜$\frac{1}{a}$＜0，
解得a＜-1，
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意分類討論．