Question

函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求實(shí)數(shù)a，b，并確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，f（-x）=-f（x），及f(

1

2

)=

2

5

．及構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程可求出實(shí)數(shù)a，b的值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，任取區(qū)間（-1，1）上兩個(gè)任意的實(shí)數(shù)，然后分析它們所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）若函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
則f（-x）=

-ax+b

x2+1

=-f（x）=-

ax+b

x2+1

解得b=0
又∵f(

1

2

)=

2

5

．
∴

1 2 a

1 2 2+1

=

2

5

解得a=1
故f(x)=

x

x2+1

（2）任取區(qū)間（-1，1）上兩個(gè)任意的實(shí)數(shù)m，n，且m＜n
則f（m）-f（n）=

m

m2+1

-

n

n2+1

=

(m-n)(1-mn)

(m2+1)(n2+1)

∵m²+1＞0，n²+1＞0，m-n＜0，1-mn＞0
∴f（m）-f（n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是奇函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的證明，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出a值，（2）的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)后對(duì)函數(shù)值差的符號(hào)的判斷．