Question

等腰Rt△ACB，AB=2，．以直線AC為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，D為圓錐底面一點，BD⊥CD，CH⊥AD于點H，M為AB中點，則當(dāng)三棱錐C﹣HAM的體積最大時，CD的長為_____________.

Answer 1

C

【解析】根據(jù)題意，得

∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，

∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，

∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，

∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，

因此，三棱錐C﹣HAM的體積V=S_△CMH×AM=S_△CMH由此可得，當(dāng)S_△CMH達(dá)到最大值時，三棱錐C﹣HAM的體積最大

設(shè)∠BCD=θ，則Rt△BCD中，BC=AB=

可得CD=，BD=

Rt△ACD中，根據(jù)等積轉(zhuǎn)換得CH==

Rt△ABD∽Rt△AHM，得，所以HM==

因此，S_△CMH=CH•HM==

∵4+2tan²θ≥4tanθ，

∴S_△CMH=≤=，

當(dāng)且僅當(dāng)tanθ=時，S_△CMH達(dá)到最大值，三棱錐C﹣HAM的體積同時達(dá)到最大值．

∵tanθ=＞0，可得sinθ=cosθ＞0

∴結(jié)合sin²θ+cos²θ=1，解出cos²θ=，可得cosθ=（舍負(fù)）

由此可得CD==，

即當(dāng)三棱錐C﹣HAM的體積最大時，CD的長為