Question

1．對(duì)凱里一中高二（1）、高二（2）、高二（3）、高二（4）、高二（5）五個(gè)班級(jí)調(diào)查了解，統(tǒng)計(jì)出這五個(gè)班級(jí)課余參加書法興趣小組并獲校級(jí)獎(jiǎng)的人數(shù)，得出如表：

班級(jí)	高二（1）	高二（2）	高二（3）	高二（4）	高二（5）
班級(jí)代號(hào)x	1	2	3	4	5
獲獎(jiǎng)人數(shù)y	5	4	2	3	1

從表中看出，班級(jí)代號(hào)x與獲獎(jiǎng)人數(shù)y線性相關(guān)．
（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）從以上班級(jí)隨機(jī)選出兩個(gè)班級(jí)，求至少有一個(gè)班級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)超過3人的概率．
（附：參考公式：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$）．

Answer 1

分析 （1）通過線性回歸方程，直接利用已知條件求出$\hat{a}$，$\hat$，推出線性回歸方程．
（2）記“從以上班級(jí)隨機(jī)選出兩個(gè)班級(jí)，求至少有一個(gè)班級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)超過3人”為事件A，列出基本事件，利用古典概型求出概率即可．

解答 解：（1）由已知得n=5，$\overline x=\overline y=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=36}$，$n\overline x\overline y=45$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=55$，$n{\overline x^2}=45$．
則$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{36-45}{55-45}=-\frac{9}{10}$．…（4分）
則$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=\frac{57}{10}$．
故y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty=-\frac{11}{10}x+\frac{57}{10}$．…（6分）
（2）從以上班級(jí)隨機(jī)選出兩個(gè)班級(jí)，基本事件共有
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10個(gè)，
而獲獎(jiǎng)人數(shù)超過3人的有1班和2班，
則至少有一個(gè)班級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)超過3人的基本事件為
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共7個(gè)，
由古典概型知至少有一個(gè)班級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)超過3人的概率$p=\frac{7}{10}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的求法，古典概型的求解，考查分析問題解決問題的能力．