Question

20．a(chǎn)+bi（a，b∈R）的兩個平方根為z₁和z₂，求|z₁-z₂|．（用a，b表示）

Answer 1

分析 根據(jù)平方根的定義以及復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a+bi（a，b∈R）的兩個平方根為z₁和z₂，
∴設(shè)（x+yi）²=a+bi（x，y，a，b∈R），
則x²-y²+2xyi=a+bi，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=a}\\{2xy=b}\end{array}\right.$，
將y=$\frac{2x}$代入x²-y²=a，得x²-（$\frac{2x}$）²=a，
即4x⁴-4ax²-b²=0，
解得x²=$\frac{4a+\sqrt{16{a}^{2}+16^{2}}}{8}$=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{2}$或x²=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{2}$（舍），
則y²=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{2}$-a=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}-a}{2}$
若b≥0，則x，y同號，即z₁=x+yi，z₂=-x-yi，
此時z₁-z₂=2x+2yi，則|z₁-z₂|=$\sqrt{4{x}^{2}+4{y}^{2}}$=$\sqrt{2a+2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}+2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}-2a}$=2$\sqrt{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．
若b＜0，則x，y異號，即z₁=x-yi，z₂=-x+yi，
此時z₁-z₂=2x-2yi，則|z₁-z₂|=$\sqrt{4{x}^{2}+4{y}^{2}}$=$\sqrt{2a+2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}+2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}-2a}$=2$\sqrt{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．

點評 本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，難度較大．