Question

使函數(shù)f(x)=log2(x+

1

x

)，x∈M的值域為[1，2]，則區(qū)間M可以是

[1，2+

3

]等

．

Answer 1

分析：先由x+

1

x

＞0求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)和y=x+

1

x

的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷原函數(shù)的單調(diào)性，再由最值求出對應(yīng)的x值，根據(jù)單調(diào)性確定出可能的區(qū)間，根據(jù)要求填寫一個即可．

解答：解：令x+

1

x

＞0解得，x＞0，故函數(shù)的定義域是（0，+∞），
設(shè)t=x+

1

x

，由于x＞0，故t≥2，
∵t在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)；且函數(shù)y=log₂^x在定義域上是增函數(shù)，
∴f(x)=log2(x+

1

x

)在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
∵f(x)=log2(x+

1

x

)，x∈M的值域為[1，2]，∴當(dāng)x+

1

x

=2時，函數(shù)值為1；當(dāng)x+

1

x

=4時函數(shù)值為2，
解得：x=1；x=2±

3

，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知，區(qū)間M可以是[1，2+

3

]或[2-

3

，1]，
故答案為：[1，2+

3

]．

點評：本題是一個開放性的題目，即根據(jù)要求選擇正確答案中的一個即可，考查了對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，對號函數(shù)的單調(diào)性和值域，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，考查知識全面，有一定的難度．