Question

定義：

n

k-1

a_k=a₁a₂a₃…a_n，則

lim

n→∞

n

k-2

（1-

1

k2

）的值為（　�。�

• A、0
• B、

  1

  3

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

分析：由于1-

1

k2

=

k2- 1

k2

=

k-1

k

•

k+1

k

，由題中的定義可得，

lim

n→∞

n

k-2

（1-

1

k2

）
=

lim

n→∞

(

1

2

×

3

2

)×(

2

3

×

4

3

)×…× (

n-1

n

×

n+1

n

)，結合式子的特點考慮用分組求積，然后求極限即可．

解答：解：1-

1

k2

=

k2- 1

k2

=

k-1

k

•

k+1

k

由題意可得，

lim

n→∞

n

k-2

（1-

1

k2

）=

lim

n→∞

(

1

2

×

3

2

)×(

2

3

×

4

3

)×…× (

n-1

n

×

n+1

n

)      
=

lim

n→∞

[(

1

2

×

2

3

×…×

n-1

n

)×(

3

2

×

4

3

×…×

n+1

n

]
=

lim

n→∞

 (

1

n

×

n+1

2

)=

1

2

故選C

點評：本題以新定義為載體，考查了數列求和（或積）的分組求解的方法，考查了數列極限的基本運算，屬于基礎試題．