Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²-bx（a，b∈R），若y=f（x）圖象上的點（1，-

11

3

）處的切線斜率為-4，
（1）求f（x）的表達式．
（2）求y=f（x）在區(qū)間[-3，6]上的最值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程關(guān)系即可求f（x）的表達式．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求y=f（x）在區(qū)間[-3，6]上的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+ax²-bx，
∴f′（x）=x²+2ax-b，
∵y=f（x）圖象上的點（1，-

11

3

）處的切線斜率為-4，
∴f′（1）=-4，f（1）=-

11

3

，
∴1+2a-b=-4．①，

1

3

+a-b=-

11

3

，即a-b+4=0．②
由①②解得a=-1，b=3，
∴f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
（2）∵f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
∴f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．
令f′（x）=0，解得x=-1或3．
∴在x∈[-3，6]上，當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，6）	6
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-9	單調(diào)遞增↗	極大值 5 3	單調(diào)遞減↘	極小值-9	單調(diào)遞增↗	18

∴當(dāng)x∈[-3，6]時，f（x）_max=f（6）=18，
f（x）_min=f（3）=f（-3）=-9．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)最值的求解，利用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的應(yīng)用時解決本題的關(guān)鍵．