Question

對于函數(shù)，
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）當a為何值時，f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）寫出（Ⅱ）中函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用定義給出證明．

Answer 1

（1）解：由題意可得，2^x-1≠0 即x≠0
∴定義域為{x|x≠0}
（2）解：由f（x）是奇函數(shù)，則對任意x∈{x|x≠0}

化簡得（a-1）2^x=a-1∴a=1
∴a=1時，f（x）是奇函數(shù)
（3）當a=1時，的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）．
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞） 且x₁＜x₂ 則
∵0＜x₁＜x₂ y=2^x 在R上遞增∴
∴，，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x） 在（0，+∞） 上單調(diào)遞減．同理：f（x） 在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
綜上： 在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞） 上單調(diào)遞減．
分析：（1）由題意可得，2^x-1≠0 可求函數(shù)的定義域
（2）由題意可得，化簡可求a
（3）當a=1時，，只要現(xiàn)證明，x∈（0，+∞）時的單調(diào)性，然后根據(jù)奇函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同可知，任取x₁，x₂∈（0，+∞） 且x₁＜x₂ 然后只要判斷f（x₁）與f（x₂）的大小即可 證明
點評：本題主要考查了奇函數(shù)的定義在參數(shù)求解中的應用，及函數(shù)的單調(diào)性的定義在函數(shù)證明中的應用，屬于函數(shù)知識的綜合應用．