Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且滿足a₂=3，a₄+a₅+a₆=18，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，試求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出公差和首項，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；再由數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，構(gòu)造等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由已知條件推導出c_n=a_n•b_n=（n+1）•2ⁿ-n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且滿足a₂=3，a₄+a₅+a₆=18，設公差為d，
∴

a1+d=3 a1+3d+a1+4d+a1+5d=18

，
解得a₁=2，d=1，
∴a_n=n+1．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），b₁+1=2，
∴{b_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴bn+1=2n，
∴b_n=2ⁿ-1．
（2）∵a_n=n+1，b_n=2ⁿ-1，
∴c_n=a_n•b_n=（n+1）•（2ⁿ-1）=（n+1）•2ⁿ-n-1，
∴Tn=2•2+3•22+…+(n+1)•2n-（1+2+…n）-n
=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ+

n(n+3)

2

，①
2T_n=2•2²+3•2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹+（n²+3n），②
②-①，得：T_n=-4-2²-2³-…-2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹+

n(n+3)

2

=（n+1）•2ⁿ⁺¹+

n(n+3)

2

-4-

4(1-2n-1)

1-2

=n•2ⁿ⁺¹+

n(n+3)

2

．
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹+

n(n+3)

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，是中檔題，解題時要注意構(gòu)造法和錯位相減法的合理運用．