Question

已知函數(shù)f（x）=

x

|x|-1

，x∈（-1，1），有下列結(jié)論：
①?x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
②?m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有兩個(gè)不等實(shí)根；
③?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④存在無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)是奇函數(shù)即可．②判斷函數(shù)|f（x）|的奇偶性和最值即可判斷．③根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，④根據(jù)函數(shù)圖象以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答：解：①∵f（x）=

x

|x|-1

，x∈（-1，1），
∴f（-x）=

-x

|x|-1

=-

x

|x|-1

=-f（x），x∈（-1，1），
即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立．∴①正確．
②∵f（x）=

x

|x|-1

，x∈（-1，1）為奇函數(shù)，
∴|f（x）|為偶函數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)，|f（0）|=0，
∴當(dāng)m=0時(shí)，方程|f（x）|=m只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)m＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，∴②錯(cuò)誤．
③當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=

x

|x|-1

=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

≤0，為減函數(shù)．
當(dāng)x∈（-1，0]時(shí)，f（x）=

x

|x|-1

=

x

-x-1

=

x+1-1

-x-1

=-1+

1

x+1

≥0，為減函數(shù)．
綜上函數(shù)f（x）在（-1，1）上為單調(diào)函數(shù)，且單調(diào)遞減，
∴?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）成立，即③正確．
④由g（x）=f（x）-kx=0得f（x）=kx，
∴f（0）=0，即x=0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
又∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∴可以存在無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3個(gè)零點(diǎn)，如圖：
∴④正確．
故①③④正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)奇偶性，單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性強(qiáng)，難度較大，本題的質(zhì)量較高．