Question

已知函數(shù)f(x)=

1 3 x3+mx2 (x≤0) ex-1 (x＞0).

（1）當x≤0時，函數(shù)f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為x-3y+1=0，求m的值；
（2）當x＞0時，設(shè)f（x）+1的反函數(shù)為g^-1（x）（g^-1（x）的定義域即是f（x）+1的值域）．證明：函數(shù)h(x)=

1

3

x-g-1(x)在區(qū)間（e，3）內(nèi)無零點，在區(qū)間（3，e²）內(nèi)有且只有一個零點；
（3）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）由題意得f'（-1）=1-2m所以函數(shù)f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為：（3-6m）x-3y+2-3m=0，又因為函數(shù)f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為x-3y+1=0所以解得m=

1

3

．
（2）當x＞0時g^-1（x）=lnx（x＞1），所以h(x)=

1

3

x-lnx(x＞1)所以h′(x)=

1

3

-

1

x

=

x-3

3x

解得可知h（x）在（e，3）上為減函數(shù)，在（3，e²）上為增函數(shù)，在x=3處取得極小值．進而可以得到答案．
（3）當x＞0時，f（x）=e^x-1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）=e^x-1＞0．當x≤0時，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）．當m＞0時，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m），令f'（x）=0，得x₁=-2m，x₂=0．當x＜-2m時，f'（x）＞0當-2m＜x＜0時，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，-2m]上單調(diào)遞增，在（-2m，0]上單調(diào)遞減．有極值．
當m＜0時f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）＞0，f（x）在R上是增函數(shù)，無極值
當m=0時f'（x）=x²≥0，f（x）在R上是增函數(shù)，無極值．

解答：解：（1）當x≤0時，f(x)=

1

3

x3+mx2，f(-1)=m-

1

3

f'（x）=x²+2mx，f'（-1）=1-2m
函數(shù)f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為：y-(m-

1

3

)=(1-2m)(x+1)
整理得：（3-6m）x-3y+2-3m=0
所以有

3-6m=1 2-3m=1

，
解得m=

1

3

．
（2）當x＞0時，f（x）+1=e^x，
所以g^-1（x）=lnx（x＞1），h(x)=

1

3

x-g-1(x)=

1

3

x-lnx(x＞1)，h′(x)=

1

3

-

1

x

=

x-3

3x

令h'（x）＞0得x＞3；令h'（x）＜0得1＜x＜3，令h'（x）=0得x=3，
故知函數(shù)h（x）在區(qū)間（1，3）上為減函數(shù)，在區(qū)間（3，+∞）為增函數(shù)，在x=3處取得極小值，
進而可知h（x）在（e，3）上為減函數(shù)，在（3，e²）上為增函數(shù)，在x=3處取得極小值．
又∵h(e)=

e

3

-1＜0，h(3)=1-ln3＜0，h(e2)=

e2

3

-2＞0．
所以，函數(shù)h(x)=

1

3

x-g-1(x)在區(qū)間（e，3）內(nèi)無零點，在區(qū)間（3，e²）有且只有一個零點
（3）當x＞0時，f（x）=e^x-1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）=e^x-1＞0．
當x≤0時，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）
①若m=0，f'（x）=x²≥0，則f(x)=

1

3

x3在（-∞，0]上單調(diào)遞增，且f(x)=

1

3

x3＜0．
又f（0）=0，∴f（x）在R上是增函數(shù)，無極值．
②若m＜0，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）＞0，則f(x)=

1

3

x3+mx2在（-∞，0]上單調(diào)遞增．
同理，f（x）在R上是增函數(shù)，無極值．
③若m＞0，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m），令f'（x）=0，得x₁=-2m，x₂=0．
當x＜-2m時，f'（x）＞0
當-2m＜x＜0時，f'（x）＜0
所以，f(x)=

1

3

x3+mx2在（-∞，-2m]上單調(diào)遞增，在（-2m，0]上單調(diào)遞減．
又f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故[f（x）]_極小=f（0）=0，[f(x)]極大=f(-2m)=

4

3

m3
綜上，當m＞0時，[f（x）]_極小=f（0）=0，[f(x)]極大=

4

3

m2．
當m≤0時，f（x）無極值．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決極值問題，關(guān)鍵要注意其中分類討論是本題的難點，由于函數(shù)是分段函數(shù)所以在討論時要細心仔細，很大方面考查了運算能力．