(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),().
(1)證明:;
(2)當時,比較與的大小,并說明理由;
(3)證明:().
(1)設(shè),即函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在處取得唯一極小值。
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;
(3)證明1:先證對任意正整數(shù),,再證對任意正整數(shù),
.
即要證明對任意正整數(shù),不等式(*)成立,以下可以數(shù)學(xué)歸納法證明。
【解析】
試題分析:(1)設(shè),所以
當時,,當時,,當時,.
即函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在處取得唯一極小值,…2分
因為,所以對任意實數(shù)均有 .即,
所以
(2)當時,.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
①當時,由(1)知。
②假設(shè)當()時,對任意均有,
令,,
因為對任意的正實數(shù),,
由歸納假設(shè)知,.
即在上為增函數(shù),亦即,
因為,所以.從而對任意,有.
即對任意,有.這就是說,當時,對任意,也有.由①、②知,當時,都有.
(3)證明1:先證對任意正整數(shù),.
由(2)知,當時,對任意正整數(shù),都有.令,得.所以.
再證對任意正整數(shù),
.
要證明上式,只需證明對任意正整數(shù),不等式成立.
即要證明對任意正整數(shù),不等式(*)成立
以下分別用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式法證明不等式(*):
方法1(數(shù)學(xué)歸納法):
①當時,成立,所以不等式(*)成立.
②假設(shè)當()時,不等式(*)成立,即.
則.
因為
所以.
這說明當時,不等式(*)也成立.由①、②知,對任意正整數(shù),不等式(*)都成立.
綜上可知,對任意正整數(shù),成立 。
考點:數(shù)學(xué)歸納法;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;二項式系數(shù)的性質(zhì)。
點評:本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二項式定理等知識,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法,以及運算求解能力.題目較難,對學(xué)生的能力要求較高,我們在做題時,能得滿分就得滿分,不能得滿分的盡量多得步驟分。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動經(jīng)濟增長,某市決定新建一批重點工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè).求:
(I)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,
(注:利潤與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.
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