Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，．

（1）證明：平面PAC；

（2）若，，設，且，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）96

【解析】

（1）由平面ABCD，可知，又且，即可說明平面PAC；

（2）連接OP，由平面PAC可知，又，得，又由四邊形ABCD為等腰梯形，，可知，均為等腰直角三角形，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得梯形ABCD的高，即可求得梯形ABCD的面積S，再由勾股定理求得四棱錐P-ABCD的高PA，代入棱錐體積公式，即可求得答案.

（1）證明：因為平面ABCD，平面ABCD，所以．

又，，平面PAC，平面PAC，

所以平面PAC．

（2）如圖，連接OP，

由（1）知，平面PAC，

又平面PAC，知．

在中，因為，得，

又因為四邊形ABCD為等腰梯形，，

所以，均為等腰直角三角形．

從而梯形ABCD的高為，

于是梯形ABCD的面積．

在等腰直角三角形AOD中，，

所以，．

故四棱錐P-ABCD的體積為．