Question

5．若F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且|PF₁|•|PF₂|=64，則∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由雙曲線方程求出焦距，利用雙曲線的定義和余弦定理能求出∠F₁PF₂．

解答 解：由$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，得a²=9，b²=16，∴c=5，
∴|F₁F₂|=2c=10，
設(shè)|PF₁|＞|PF₂|，
則|PF₁|-|PF₂|=6，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=36$，
∵|PF₁||PF₂|=64，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=164$，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{164-100}{2×64}=\frac{1}{2}$，
∴∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查雙曲線是幾何性質(zhì)，考查雙曲線的定義，注意余弦定理的合理運用，是中檔題．