已知△ABC的面積S滿足
3
2
≤S≤
3
2
，且
AB
•
BC
=3，
AB
與
BC
的夾角為θ．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數(shù)f(θ)=3sin2θ+2
3
sinθ•cosθ+cos2θ的最大值及最小值．
分析：（1）由條件求得
3
3
≤tanθ≤1，再根據(jù)0≤θ≤π，從而求出θ的取值范圍．
（2）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式花簡(jiǎn)函數(shù)f（θ）的解析式為2sin（2θ-
π
6
）+2，根據(jù)
π
6
≤θ≤
π
4
，求得2θ-
π
6
 的范圍，從而求得sin（2θ-
π
6
）的范圍，從而求出f（θ）的最大值和最小值．
解答：解：（1）因?yàn)?span id="lpwahii" class="MathJye">
AB
•
BC
=3，
AB
與
BC
的夾角為θ，所以，|
AB
|•|
BC
|•cosθ=3．
S=|
AB
|•|
BC
|•sin(π-θ)=
1
2
|
AB
|•|
BC
|•sinθ．   （3分）
又
3
2
≤S ≤
3
2
，所以，
3
2
≤
3
2
•tanθ≤
3
2
，即
3
3
≤tanθ≤1，
又0≤θ≤π，所以，
π
6
≤θ≤
π
4
．                                             （6分）
（2）函數(shù)f(θ)=3sin2θ+2
3
sinθ•cosθ+cos2θ=2sin2θ+
3
sin2θ+1
=
3
sin2θ-cos2θ+2=2sin（2θ-
π
6
）+2，----（9分）
因?yàn)?span id="udayr8z" class="MathJye">
π
6
≤θ≤
π
4
，所以
π
6
≤2θ-
π
6
≤
π
3
，（10分）
從而當(dāng) θ=
π
6
 時(shí)，f（θ）取得最小值為3，
當(dāng) θ=
π
4
時(shí)，f（θ）取得最大值為
3
+2．---------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，正弦函數(shù)的定義域和值域，兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•和平區(qū)三模）已知△ABC的面積S滿足
3
≤S≤3，且
AB
•
BC
=6，
AB
與
BC
的夾角為θ．
（1）求θ的范圍．
（2）求函數(shù)f（θ）=
1-
2
cos(2θ-
π
4
)
sinθ
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知△ABC的面積S=
3
，a=2
3
，b=2，求第三邊c的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的面積S=5
3
，AB=4，最大邊AC=5，那么BC邊的長(zhǎng)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•海淀區(qū)二模）已知△ABC的面積S=
3
，∠A=
π
3
，則
AB
•
AC
=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•寶山區(qū)一模）已知△ABC的面積S=4，b=2，c=6，則sinA=
2
3
2
3
．

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