Question

如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形．

(1)若渠中流水的橫斷面積為S，水面的高為h，當水渠側(cè)邊的傾斜角φ為多大時，才能使橫斷面被水浸濕的周長為最小？

(2)若被水浸濕的水渠側(cè)邊和水渠底面邊長都等于a，當水渠側(cè)邊傾斜角φ多大時，水流的橫斷面積為最大？

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)依題意，側(cè)邊BC＝h·(sinφ)－1，設下底AB＝x， 則上底CD＝x＋2hcotφ， 　　又S＝(2x＋2hcotφ)h＝(x＋hcotφ)h， 　　∴下底x＝－hcotφ． 　　∴橫斷面被水浸濕周長l＝(0＜φ＜)． 　　∴＝． 　　令＝0，解得cosφ＝，∴φ＝． 　　根據(jù)實際問題的意義，當φ＝時，水渠橫斷面被水浸濕的周長最小． 　　(2)設水渠高為h，水流橫斷面積為S，則 　　S＝(a＋a＋2acosφ)·h＝(2a＋2acosφ)·acosφ 　�。絘2(1＋cosφ)·sinφ(0＜φ＜)． 　　∴＝a2[－sin2φ＋(1＋cosφ)cosφ]＝a2(2cosφ－1)(cosφ＋1)． 　　令＝0，得cosφ＝或cosφ＝－1(舍)， 　　故在(0，)內(nèi)，當φ＝時，水流橫斷面積最大， 　　最大值為S＝a2(1＋cos)sin＝． 　　思路解析：分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變元，構(gòu)造相應的函數(shù)關(guān)系，通過求導的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值．