Question

（2012•天津）已知函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，求實數k的最小值；
（3）證明：

n

i=1

2

2i-1

-ln(2n+1)＜2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域，求導函數，確定函數的單調性，求得函數的最小值，利用函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，即可求得a的值；
（2）當k≤0時，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合題意；當k＞0時，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，求導函數，令g′（x）=0，可得x₁=0，x2=

1-2k

2k

＞-1，分類討論：①當k≥

1

2

時，

1-2k

2k

≤0，g（x）在（0，+∞）上單調遞減，g（x）≤g（0）=0；②當0＜k＜

1

2

時，

1-2k

2k

＞0，對于x∈(0，

1-2k

2k

)，g′（x）＞0，因此g（x）在(0，

1-2k

2k

)上單調遞增，，由此可確定k的最小值；
（3）當n=1時，不等式左邊=2-ln3＜2=右邊，不等式成立；當n≥2時，

n

i=1

f(

2

2i-1

)=

n

i=1

2

2i-1

-ln(2n+1)，在（2）中，取k=

1

2

，得f（x）≤

1

2

x²，從而可得f(

2

2i-1

)=

2

(2i-1)2

＜ 

2

(2i-3)(2i-1)

，由此可證結論．

解答：（1）解：函數的定義域為（-a，+∞），求導函數可得f′(x)=

x+a-1

x+a

令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a
令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a
∴x=1-a時，函數取得極小值且為最小值
∵函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，
∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1
（2）解：當k≤0時，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合題意
當k＞0時，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，
求導函數可得g′（x）=

-x[2kx-(1-2k)]

x+1

g′（x）=0，可得x₁=0，x2=

1-2k

2k

＞-1
①當k≥

1

2

時，

1-2k

2k

≤0，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上單調遞減，從而對任意的x∈[0，+∞），總有g（x）≤g（0）=0，即對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立；
②當0＜k＜

1

2

時，

1-2k

2k

＞0，對于x∈(0，

1-2k

2k

)，g′（x）＞0，因此g（x）在(0，

1-2k

2k

)上單調遞增，
因此取x 0∈(0，

1-2k

2k

)時，g（x₀）≥g（0）=0，即有f（x₀）≤kx₀²不成立；
綜上知，k≥

1

2

時對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，k的最小值為

1

2

（3）證明：當n=1時，不等式左邊=2-ln3＜2=右邊，所以不等式成立
當n≥2時，

n

i=1

f(

2

2i-1

)=

n

i=1

2

2i-1

-ln(2n+1)
在（2）中，取k=

1

2

，得f（x）≤

1

2

x²，∴f(

2

2i-1

)=

2

(2i-1)2

＜ 

2

(2i-3)(2i-1)

（i≥2，i∈N^*）．
∴

n

i=1

2

2i-1

-ln(2n+1)=

n

i=1

f(

2

2i-1

)=f（2）+

n

i=2

f(

2

2i-1

)＜2-ln3+

n

i=2

2

(2i-3)(2i-1)

=2-ln3+1-

1

2n-1

＜2
綜上，

n

i=1

2

2i-1

-ln(2n+1)＜2（n∈N^*）．

點評：試題分為三問，題面比較簡單，給出的函數比較常規(guī)，因此入手對于同學們來說沒有難度，第二問中，解含參數的不等式時，要注意題中參數的討論所有的限制條件，從而做到不重不漏；第三問中，證明不等式，應借助于導數證不等式的方法進行．