(本題滿(mǎn)分12分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿(mǎn)分5分,第2小題滿(mǎn)分7分.

已知拋物線,F(xiàn)是焦點(diǎn),直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的任意直線.

(1)若直線l與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,且(O是坐標(biāo)原點(diǎn),M是垂足),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;

(2)若C、D兩點(diǎn)在拋物線上,且滿(mǎn)足,求證直線CD必過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

 

【答案】

所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是().

直線CD的方程可化為. 直線CD恒過(guò)定點(diǎn),且定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).

【解析】(本題滿(mǎn)分12分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿(mǎn)分5分,第2小題滿(mǎn)分7分.

解 (1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.                  …………………1分

∵拋物線的焦點(diǎn)是,直線l恒過(guò)點(diǎn)F,且與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,

,

.                     …………………3分

,化簡(jiǎn),得.   …………………5分

又當(dāng)M與原點(diǎn)重合時(shí),直線l與x軸重合,故

∴所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是().

(2) 設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為.       …………………………6分

∵C、D在拋物線上,

,,即,

,

.      ………8分

∵點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為、,

∴直線CD的一個(gè)法向量是,可得直線CD的方程為:

  ,化簡(jiǎn),得

,進(jìn)一步用,有

又拋物線上任兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不相等,即

∴直線CD的方程可化為.     ………………………10分

∴直線CD恒過(guò)定點(diǎn),且定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).      ………………………12分

 

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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