(2012•奉賢區(qū)二模)數(shù)列{an} 的各項均為正數(shù),a1=p,p>0,k∈N*,an+an+k=f(p,k)•pn
(1)當(dāng)k=1,f(p,k)=p+k,p=5時,求a2,a3;
(2)若數(shù)列{an}成等比數(shù)列,請寫出f(p,k)滿足的一個條件,并寫出相應(yīng)的通項公式(不必證明);
(3)當(dāng)k=1,f(p,k)=p+k時,設(shè)Tn=a1+2a2+3a3+…+2an+an+1,求Tn
分析:(1)由題意,an+an+1=6•5n,利用a1=p=5,代入計算,即可求得a2,a3;
(2)設(shè)出公比,利用an+an+k=f(p,k)•pn,即可得到當(dāng)f(p,k)=1+pk時,an=pn
(3)當(dāng)k=1,f(p,k)=p+k時,an+an+1=(1+p)pn,再利用分組求和,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)由題意,an+an+1=6•5n,
∵a1=p=5,
∴a2=25,a3=125
(2)數(shù)列{an}成等比數(shù)列,設(shè)公比為q,則an=p×qn-1
∴an+k=p×qn+k-1,
∴an+an+k=p×qn-1+p×qn+k-1=(1+qk)×p×qn-1,
∵an+an+k=f(p,k)•pn
∴q=p時,f(p,k)=1+pk時,an+an+k=(1+pk)•pn且an=pn
(3)當(dāng)k=1,f(p,k)=p+k時,an+an+1=(1+p)pn
由(2)知,∴Tn=a1+2a2+3a3+…+2an+an+1=(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)=(1+p)(p+p2+…+pn
p=1時,Tn=2n;當(dāng)p≠1且p>0時,Tn=
(1+p)p(1-pn)
1-p
點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項與求和,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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