【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|,a<0.
(1)證明f(x)+f(﹣ )≥2;
(2)若不等式f(x)+f(2x)< 的解集非空,求a的取值范圍.

【答案】
(1)證明:函數(shù)f(x)=|x﹣a|,a<0,

則f(x)+f(﹣ )=|x﹣a|+|﹣ ﹣a|

=|x﹣a|+| +a|≥|(x﹣a)+( +a)|

=|x+ |=|x|+ ≥2 =2.


(2)解:f(x)+f(2x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0.

當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x,則f(x)≥﹣a;

當(dāng)a<x< 時(shí),f(x)=x﹣a+a﹣2x=﹣x,則﹣ <f(x)<﹣a;

當(dāng)x 時(shí),f(x)=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a,則f(x)≥﹣

則f(x)的值域?yàn)閇﹣ ,+∞),

不等式f(x)+f(2x)< 的解集非空,即為

>﹣ ,解得,a>﹣1,由于a<0,

則a的取值范圍是(﹣1,0)


【解析】(1)運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)和基本不等式,即可得證;(2)通過對x的范圍的分類討論去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為一次不等式,求得(f(x)+f(2x))min即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的圖象的相鄰兩對稱中心的距離為π,且f(x+ )=f(﹣x),則函數(shù)y=f( ﹣x)是(
A.偶函數(shù)且在x=0處取得最大值
B.偶函數(shù)且在x=0處取得最小值
C.奇函數(shù)且在x=0處取得最大值
D.奇函數(shù)且在x=0處取得最小值

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【題目】某商城一年中各月份的收入、支出(單位:萬元)情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示,下列說法正確的是( )

A. 2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同

B. 支出最高值與支出最低值的比是3:1

C. 7至9月的日平均支出為50萬元

D. 利潤最高的月份是2月份

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【題目】某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為了研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:,,,,分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)“25周歲以上組”的頻率分布直方圖,求25周歲以上組工人日平均生產(chǎn)件數(shù)的中位數(shù)的估計(jì)值(四舍五入保留整數(shù));

(2)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至多抽到一名“25周歲以下組”工人的概率

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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB的中點(diǎn).

(1)求證:AM∥平面PCD;
(2)設(shè)點(diǎn)N是線段CD上的一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí),直線MN與平面PAB所成的角最大?并求出最大角的正弦值.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于點(diǎn),線段的垂直平分線與的交點(diǎn)的軌跡為曲線,若,且是曲線上不同的點(diǎn),滿足,則的取值范圍為( )

A. B. C. D.

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A. B. C. D.

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【題目】一般地,對于直線及直線外一點(diǎn),我們有點(diǎn)到直線的距離公式為:

(1)證明上述點(diǎn)到直線的距離公式

(2)設(shè)直線,試用上述公式求坐標(biāo)原點(diǎn)到直線距離的最大值及取最大值時(shí)的值.

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