設f（x）=x3-ax2-bx-c，x∈[-1，1]，記y=|f（x）|的最大值為M．
（Ⅰ）當a=c=0，b=
34
時，求M的值；
（Ⅱ）當a，b，c取遍所有實數(shù)時，求M的最小值．
（以下結論可供參考：對于a，b，c，d∈R，有|a+b+c+d|≤|a|+|b|+|c|+|d|，當且僅當a，b，c，d同號時取等號）
分析：（I）先求導，得f′(x)=3x2-
3
4
=3(x-
1
2
)(x+
1
2
)，從而得出y=|f（x）|的最大值為：M=max{|f(-1)|，|f(-
1
2
)|，|f(
1
2
)|，|f(1)|}=
1
4
．
（II）由于4f(1)-4f(-1)=8-8b，8f(
1
2
)-8f(-
1
2
)=2-8b，且M≥|f(1)|；M≥|f(-1)|；M≥|f(
1
8
)|；M≥|f(-
1
8
)|利用絕對值不等式建立不等關系式，得出M≥
1
4
（-1≤x′≤1）．最后結合（1）可知M的最小值．
解答：解：（I）求導可得f′(x)=3x2-
3
4
=3(x-
1
2
)(x+
1
2
)，
M=max{|f(-1)|，|f(-
1
2
)|，|f(
1
2
)|，|f(1)|}=
1
4
，當x=±1，±
1
2
時取等號．
（II）∵4f(1)-4f(-1)=8-8b，8f(
1
2
)-8f(-
1
2
)=2-8b，
∵M≥|f(1)|；M≥|f(-1)|；M≥|f(
1
8
)|；M≥|f(-
1
8
)|
∴24M≥4|f(1)|+4|f(-1)|+8|f(
1
2
)|+8|f(-
1
2
)|≥|4f(1)-4f(-1)-8f(
1
2
)+8f(-
1
2
)|=6
因此，M≥
1
4
（-1≤x′≤1）．
由（1）可知，當a=0，b=
3
4
，c=0時，M=
1
4
．∴f(x)min=
1
4
．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、絕對值不等式的性質等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

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已知a＞0，函數(shù)f（x）=x3-a，x∈[0，+∞），設x1＞0，記曲線y=f（x）在點M（x1，f（x1））處的切線l．
（1）求l的方程；
（2）設l與x軸的交點是（x2，0），證明x2≥a
13
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=x3+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，且f（-
1
2
）•f（
1
2
）＜0，則方程f（x）=0在[-1，1]內（　�。�
A、可能有3個實數(shù)根
B、可能有2個實數(shù)根
C、有唯一的實數(shù)根
D、沒有實數(shù)根

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=x3（x∈R），若0≤θ＜
π
2
時，f（m•sinθ）+f（2-m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=x3+ax2+bx+c，又k是一個常數(shù)，已知當k＜0或k＞4時，f（x）-k=0只有一個實根，當0＜k＜4時，f（x）-k=0有三個相異實根，現(xiàn)給出下列命題：
（1）f（x）-4=0和f′（x）=0有且只有一個相同的實根．
（2）f（x）=0和f′（x）=0有且只有一個相同的實根．
（3）f（x）+3=0的任一實根大于f（x）-1=0的任一實根．
（4）f（x）+5=0的任一實根小于f（x）-2=0的任一實根．
其中錯誤命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=x3-
x22
-2x+a，
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增、遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值的和為5，求實數(shù)a的值．

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