Question

（2006•浦東新區(qū)模擬）已知曲線C：x²-y|y|=1（|x|≤4）．
（1）畫出曲線C的圖象，
（2）若直線l：y=kx-1與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍；
（3）若P（0，p）（p＞0），Q為曲線C上的點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)y＞0時(shí)，x²-y²=1；當(dāng)y≤0時(shí)，x²+y²=1．利用等軸雙曲線和單位圓即可得出，如圖所示．
（2）若l：y=kx-1與x²+y²=1（y≤0）有兩個(gè)公共點(diǎn)，利用圖形即可得出．若l：y=kx-1與x²-y²=1（y＞0）恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l：y=kx-1與曲線C也有兩個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立方程，令△=0即可得出．
（3）分y＞0與y≤0兩種情況，利用兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）當(dāng)y＞0時(shí)，x²-y²=1，
當(dāng)y≤0時(shí)，x²+y²=1．如圖所示．
（2）若l：y=kx-1與x²+y²=1（y≤0）有兩個(gè)公共點(diǎn)，則k∈[-1，0）∪（0，1]．
若l：y=kx-1與x²-y²=1（y＞0）恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l：y=kx-1與曲線C也有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴

y=k x-1   y=  x2-1

⇒（1-k²）x²+2kx-2=0，
∴|k|＞1，△=4k²+8（1-k²）=8-4k²=0，
解得 k=± 

2

．                      
∴k的取值范圍是{ -

2

}∪[ -1 ， 0 )∪( 0 ， 1 ]∪{ 

2

}．）
（3）當(dāng)y≤0時(shí)，|PQ|²=x²+（y-p）²=1-2py+p²
由-1≤y≤0得，當(dāng)y=0時(shí)| PQ |min=

1+p2

．
當(dāng)y＞0時(shí)，|PQ|²=x²+（y-p）²=2y²-2py+p²+1=2 ( y-

1

2

 p ) 2+

1

2

 p2+1，
當(dāng)y=

1

2

 p時(shí)| PQ |min=

1+ 1  2   p2

．
由于

1+p2

＞

1+ 1  2   p2

∴|PQ|的最小值是

1+ 1  2   p2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等軸雙曲線和單位圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與曲線相交于相切的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想方法、二次函數(shù)的單調(diào)性、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法、基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力、解決問題的能力．