【題目】已知為坐標原點,橢圓: 的左焦點是,離心率為,且上任意一點到的最短距離為.
(1)求的方程;
(2)過點的直線(不過原點)與交于兩點、, 為線段的中點.
(i)證明:直線與的斜率乘積為定值;
(ii)求面積的最大值及此時的斜率.
【答案】(1);(2)(i)見解析;(ii)面積的最大值是,此時的斜率為.
【解析】試題分析:(1)由題設(shè)可以得到關(guān)于的方程組為,從而,故,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線為: , , , ,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程并消元后可以得到,利用韋達定理得到,故,從而為定值.利用弦長公式和點到直線的距離可得,令,從而,最后利用基本不等式可以得到面積的最大值為且此時也就是.
解析:(1)由題意得,解得,∴, ,∴橢圓的方程為.
(2)(i)設(shè)直線為: , , , ,由題意得,
∴,∴,即,由韋達定理得: , ,∴, ,∴,∴,∴直線與的斜率乘積為定值.
(ii)由(i)可知:
,又點到直線的距離,
∴的面積
,令,則,∴ ,當且僅當時等號成立,此時,且滿足,∴面積的最大值是,此時的斜率為.
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【題目】已知過拋物線的焦點,斜率為的直線交拋物線于兩點,且.
(1)求該拋物線的方程;
(2) 為坐標原點,為拋物線上一點,若,求的值.
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【題目】已知函數(shù)(x)=xlnx,g(x)=ax3-.
(Ⅰ)求函數(shù)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)y= (x)與函數(shù)y =g(x)的圖象在交點處存在公共切線,求實數(shù)a的值。
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【題目】已知函數(shù)(、為常數(shù)).若函數(shù)與的圖象在處相切,
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù) ,若在上的最小值為,求實數(shù)的值;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)橢圓: 的左、右焦點分別為,上頂點為,過點與垂直的直線交軸負半軸于點,且.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若過、、三點的圓恰好與直線: 相切,求橢圓的方程;
(III)在(Ⅱ)的條件下,過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點,在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,說明理由
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【題目】某P2P平臺需要了解該平臺投資者的大致年齡分布,發(fā)現(xiàn)其投資者年齡大多集中在區(qū)間[20,50]歲之間,對區(qū)間[20,50]歲的人群隨機抽取20人進行了一次理財習(xí)慣調(diào)查,得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
組數(shù) | 分組 | 人數(shù)(單位:人) |
第一組 | [20,25) | 2 |
第二組 | [25,30) | a |
第三組 | [30,35) | 5 |
第四組 | [35,40) | 4 |
第五組 | [40,45) | 3 |
第六組 | [45,50] | 2 |
(Ⅰ)求a的值并畫出頻率分布直方圖;
(Ⅱ)在統(tǒng)計表的第五與第六組的5人中,隨機選取2人,求這2人的年齡都小于45歲的概率.
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【題目】設(shè) 為橢圓 上任一點,, 為橢圓的焦點,,離心率為 .
(1)求橢圓的標準方程;
(2)直線 經(jīng)過點 ,且與橢圓交于 , 兩點,若直線 ,, 的斜率依次成等比數(shù)列,求直線 的方程.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(I)若a=1,求在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值;
(II)解關(guān)于x的不等式.
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【題目】大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵,經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)y=log3(),單位是m/s,θ是表示魚的耗氧量的單位數(shù).
(1)當一條鮭魚的耗氧量是900個單位時,它的游速是多少?
(2)計算一條魚靜止時耗氧量的單位數(shù)。
(3)某條鮭魚想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍?
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