【題目】已知為坐標原點，橢圓： 的左焦點是，離心率為，且上任意一點到的最短距離為.

（1）求的方程；

（2）過點的直線（不過原點）與交于兩點、， 為線段的中點.

（i）證明：直線與的斜率乘積為定值；

（ii）求面積的最大值及此時的斜率.

【答案】（1）；（2）（i）見解析；（ii）面積的最大值是，此時的斜率為.

【解析】試題分析：（1）由題設可以得到關于的方程組為，從而，故，所以橢圓的方程為.（2）設直線為： ， ， ， ，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程并消元后可以得到，利用韋達定理得到，故，從而為定值.利用弦長公式和點到直線的距離可得，令，從而，最后利用基本不等式可以得到面積的最大值為且此時也就是.

解析：（1）由題意得，解得，∴， ，∴橢圓的方程為.

（2）（i）設直線為： ， ， ， ，由題意得，

∴，∴，即，由韋達定理得： ， ，∴， ，∴，∴，∴直線與的斜率乘積為定值.

（ii）由（i）可知：

，又點到直線的距離，

∴的面積

，令，則，∴ ，當且僅當時等號成立，此時，且滿足，∴面積的最大值是，此時的斜率為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且.

(1)求該拋物線的方程；

(2) 為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)(x)=xlnx,g(x)=ax3-.

(Ⅰ)求函數(shù)(x)的單調遞增區(qū)間和最小值；

(Ⅱ)若函數(shù)y= (x)與函數(shù)y =g(x)的圖象在交點處存在公共切線，求實數(shù)a的值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（、為常數(shù)）.若函數(shù)與的圖象在處相切，

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）設函數(shù) ，若在上的最小值為，求實數(shù)的值;

（Ⅲ）設函數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓： 的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過、、三點的圓恰好與直線： 相切，求橢圓的方程；

（III）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某P2P平臺需要了解該平臺投資者的大致年齡分布，發(fā)現(xiàn)其投資者年齡大多集中在區(qū)間[20,50]歲之間，對區(qū)間[20,50]歲的人群隨機抽取20人進行了一次理財習慣調查，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

組數(shù)

分組

人數(shù)(單位：人)

第一組

[20,25)

2

第二組

[25,30)

a

第三組

[30,35)

5

第四組

[35,40)

4

第五組

[40,45)

3

第六組

[45,50]

2

　

(Ⅰ)求a的值并畫出頻率分布直方圖；

(Ⅱ)在統(tǒng)計表的第五與第六組的5人中，隨機選取2人，求這2人的年齡都小于45歲的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設 為橢圓 上任一點，， 為橢圓的焦點，，離心率為 ．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線 經(jīng)過點 ，且與橢圓交于 ， 兩點，若直線 ，， 的斜率依次成等比數(shù)列，求直線 的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（I）若a=1，求在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值；

（II）解關于x的不等式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)y=log3（），單位是m/s，θ是表示魚的耗氧量的單位數(shù)．

（1）當一條鮭魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是多少？

（2）計算一條魚靜止時耗氧量的單位數(shù)。

（3）某條鮭魚想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？

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