已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點A（-a，0）的直線l與橢圓相交另一點B，若|AB|=
4
2
5
，求直線l的傾斜角．
分析：（I）由離心率，結(jié)合c2=a2-b2，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合弦長公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由e=
3
2
，得3a2=4c2．
再由c2=a2-b2，解得a=2b．
由題意可知
1
2
×2a×2b=4，即ab=2．
解得a=2，b=1．
所以橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點A的坐標是（-2，0）．
設點B的坐標為（x1，y1），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2）．
代入橢圓方程，消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0．
由-2x1=
16k2-4
1+4k2
，得x1=
2-8k2
1+4k2
．
從而y1=
4k
1+4k2
．
所以|AB|=
(-2-
2-8k2
1+4k2
)2+(
4k
1+4k2
)2
=
4
1+k2
1+4k2
．
由|AB|=
4
2
5
，得
4
1+k2
1+4k2
=
4
2
5
．
整理得32k4-9k2-23=0，即（k2-1）（32k2+23）=0，解得k=±1．
所以直線l的傾斜角為
π
4
或
3π
4
．
點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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