Question

已知a是函數(shù)f（x）=e^x+x-2的零點(diǎn)．
（1）若a∈（n，n+1），n∈N，求n的值；
（2）求證：1＜e^a＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定條件，即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)a是函數(shù)f（x）=e^x+x-2的零點(diǎn)，利用f（a）=e^a+a-2=0，即可證明不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+x-2為增函數(shù)，
∴f（0）=1-2=-1＜0，f（1）=e+1-2=e-1＞0，
則f（x）在（0，1）內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)a，
∵a∈（n，n+1），n∈N，
∴n=0．
（2）f（x）在（0，1）內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)a，
∴0＜a＜1，則e^a＞e⁰=1，
又f（a）=e^a+a-2=0，
則e^a=2-a＜0，
綜上1＜e^a＜2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷以及不等式的證明，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件是解決本題的關(guān)鍵．