已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1).
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求出an的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
1anan+1
}的前n項(xiàng)和Tn,試求Tn的取值范圍.
分析:(Ⅰ)根據(jù)等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求出an的表達(dá)式;
(Ⅱ)利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和.
解答:解:(Ι)由Sn=nan-2n(n-1),得an+1=Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan-4n,
∴an+1-an=4,
即{an}是以1為首項(xiàng),公差為4的等差數(shù)列.
∴an=4n-3.
(Ⅱ)∵
1
anan+1
=
1
(4n-3)(4n+1)
=
1
4
(
1
4n-3
-
1
4n+1)
)
,
∴Tn=
1
1×5
+
1
5×9
+???+
1
(4n-3)(4n+1)
=
1
4
(1-
1
5
+
1
5
-
1
9
+???+
1
4n-3
-
1
4n+1
)
=
1
4
(1-
1
4n+1
)=
n
4n+1
1
4

又易知Tn單調(diào)遞增的,故TnT1=
1
5
,
1
5
Tn
1
4

即Tn的范圍是[
1
5
,
1
4
).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等差數(shù)列的定義以及數(shù)列的求和,利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵.
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