Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，漸近線l₁上一點(diǎn)P（

3

3

，

6

3

）滿足：直線PF與漸近線l₁垂直．       
（1）求該雙曲線方程；
（2）設(shè)A、B為雙曲線上兩點(diǎn)，若點(diǎn)N（1，2）是線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程．

Answer 1

（1）設(shè)F（c，0），l₁：y=

b

a

x，
解方程組

y= b a x x2 a2 - y2 b2 =1

得P（

a2

c

，

ab

c

）
又已知P（

3

3

，

6

3

）．
∴

a2 c = 3 3 ab c = 6 3

，又a²=b²+c²，
∴a=1，b=

2

，c=

3

∴雙曲線方程為x²-

y2

2

=1
（2）依題意，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）+2，
代入x²-

y2

2

=1，整理得（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0①
x₁，x₂則是方程①的兩個不同的根，
所以2-k²≠0，且x₁+x₂=

2k(2-k)

2-k2

，
由N（1，2）是AB的中點(diǎn)得

1

2

（x₁+x₂）=1，
∴k（2-k）=2-k²，
解得k=1，
所以直線AB的方程為y=x+1．