Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

，且f（1）=10．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）函數(shù)在（3，+∞）上是增函數(shù)，還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x+

a

x

，且f（1）=10，知f（1）=1+a=10，由此能求出a．
（2）由f（x）=x+

9

x

，知f（-x）=-f（x），由此能得到f（x）是奇函數(shù)．
（3）設(shè)x₂＞x₁＞3，利用定義法能推導(dǎo)出f（x）=x+

9

x

在（3，+∞）上為增函數(shù)．

解答：解：（1）∵f（x）=x+

a

x

，且f（1）=10，
∴f（1）=1+a=10，解得a=9．
（2）∵f（x）=x+

9

x

，
∴f（-x）=-x+

9

-x

=-（x+

9

x

）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）函數(shù)在（3，+∞）上是增函數(shù)．
證明如下：設(shè)x₂＞x₁＞3，f（x₂）-f（x₁）=x₂+

9

x2

-x₁-

9

x1

=（x₂-x₁）+（

9

x2

-

9

x1

）
=（x₂-x₁）+

9?x1-x2?

x1x2

=

?x2-x1??x1x2-9?

x1x2

，
∵x₂＞x₁＞3，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞9，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）=x+

9

x

在（3，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意定義法的合理運(yùn)用．