Question

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₂=6，當(dāng)n≥2時(shí)，有|a²_n-a_n-1a_n+1|＜a_n-1。
（1）求a₃、a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）記T_n=，證明：對(duì)任意的n∈N*，都有T_n＜。

Answer 1

解：（1）n=2時(shí)，
由已知a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，
因?yàn)閍₃為正整數(shù)，
所以a₃=18，同理a₄=54。
（2）由（1）可猜想：a_n=2·3^n-1，（*）
給出證明：①n=1，2時(shí)（*）式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k-1與n=k時(shí)（*）式成立，即

于是
整理得
于是得
因?yàn)閍_k+1為正整數(shù)，
所以
即當(dāng)n=k+1時(shí)（*）式仍成立
綜上所述，對(duì)于任意的n∈N*，有成立
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為。
（3）由
得






故。