已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)在其定義域上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為0，，已知求證：

（Ⅲ）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明理由.      

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）<.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導數(shù)求解單調(diào)性，把恒成立轉(zhuǎn)化為最值；（Ⅱ）可用數(shù)學歸納法來證明；（Ⅲ）通過放縮法來解決與的大小比較問題.

試題解析：(Ⅰ) ∵f(1)=a-b=0 ∴a=b

∴

∴

要使函數(shù)在其定義域上為單調(diào)函數(shù)，則在定義域（0，+∞）內(nèi)恒大于等于0或恒小于等于0，

當a=0時，在（0，+∞）內(nèi)恒成立；

當a>0時， 恒成立，則∴

當a<0時， 恒成立

∴a的取值范圍是:       5分

(Ⅱ)   ∴a=1    則：

于是

用數(shù)學歸納法證明如下：

當n=1時，，不等式成立；

假設(shè)當n=k時，不等式成立，即也成立，

當n=k+1時，

所以當n=k+1時不等式成立，

綜上得對所有時，都有          10分

（Ⅲ）由（2）得

于是

所以 ，

累稱得：則

所以    13分

考點：利用導數(shù)處理單調(diào)性，數(shù)列中的數(shù)學歸納法、放縮法.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”．試證當a≤0時，f（x）為“凹函數(shù)”．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)數(shù)學公式，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式數(shù)學公式成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”．試證當a≤0時，f（x）為“凹函數(shù)”．

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已知函數(shù)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”．試證當a≤0時，f（x）為“凹函數(shù)”．

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已知函數(shù)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”．試證當a≤0時，f（x）為“凹函數(shù)”．

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