Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)在其定義域上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為0，，已知求證：

（Ⅲ）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說(shuō)明理由.      

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）<.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，把恒成立轉(zhuǎn)化為最值；（Ⅱ）可用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明；（Ⅲ）通過(guò)放縮法來(lái)解決與的大小比較問(wèn)題.

試題解析：(Ⅰ) ∵f(1)=a-b=0 ∴a=b

∴

∴

要使函數(shù)在其定義域上為單調(diào)函數(shù)，則在定義域（0，+∞）內(nèi)恒大于等于0或恒小于等于0，

當(dāng)a=0時(shí)，在（0，+∞）內(nèi)恒成立；

當(dāng)a>0時(shí)， 恒成立，則∴

當(dāng)a<0時(shí)， 恒成立

∴a的取值范圍是:       5分

(Ⅱ)   ∴a=1    則：

于是

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

當(dāng)n=1時(shí)，，不等式成立；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即也成立，

當(dāng)n=k+1時(shí)，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立，

綜上得對(duì)所有時(shí)，都有          10分

（Ⅲ）由（2）得

于是

所以 ，

累稱得：則

所以    13分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性，數(shù)列中的數(shù)學(xué)歸納法、放縮法.